Least solutions for 'difference between two squares is a length-n repunit'
I have made a habit of perusing Neil Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences for instances where my feeble mathematical abilities can, nevertheless, contribute more terms. I seem to have gotten lucky with A048611 and A048612, which find [for x and y, respectively] the least solutions for 'difference between two squares is a repunit of length n' [(10^n-1)/9==x^2-y^2].
When I looked at the sequences, only ten terms were given. My first attempt in Mathematica:
Do[r = (10^i - 1)/9; j = 0; While[Sqrt[j^2 + r] != Floor[Sqrt[j^2 + r]], j++]; Print[i, " ", j, " ", Sqrt[j^2 + r]], {i, 1, 12}]
reproduced those, and extended the sequence by 2 additional terms.
Do[r = (10^i - 1)/9; j = 0; While[FractionalPart[Sqrt[j^2 + r]] > 0, j++]; Print[i, " ", j, " ", Sqrt[j^2 + r]], {i, 1, 12}]
proved somewhat faster, but in spite of a two-day run (up to j=26000000), the solution for i=13 was not making itself available. It took a little net-search (and a symbolic slap to the forehead) to rediscover the old high-school formula for the difference between two squares: x^2-y^2==(x-y)*(x+y). Of course! So the proper approach to extending these sequences lay with finding the appropriate divisors of its corresponding repunit. A little experimentation convinced me that if the repunit had 2k divisors, the k-th divisor provided the least y (and x) in Solve[{x - y == divisor, x + y == repunit/divisor}, {y, x}].
The very first terms (for i=1) are degenerate and are artificially prepended in the sequence results. The rest of my effort dealt with figuring out a respectable way of getting rid of the y-> and x-> in the 'Solve' solutions:
s = Flatten[Table[r = (10^i - 1)/9; d = Divisors[r]; p = d[[Length[d]/2]]; Solve[{x - y == p, x + y == r/p}, {y, x}], {i, 2, 56}]];
Prepend[Cases[s, Rule[y, n_] -> n], 0]
Prepend[Cases[s, Rule[x, n_] -> n], 1]
< taking, on my 400MHz iMac, about 5 minutes >
{0, 5, 17, 45, 115, 67, 2205, 2933, 166667, 44445, ..., 19498301749252790315245525}
{1, 6, 20, 56, 156, 340, 2444, 4440, 167000, 55556, ..., 3333390360411185929235832144}
We stop at 56 because the next repunit is difficult to factor, hence - find divisors of. Of course, we should be able to do much better than this. One can rework the Cunningham tables to express any repunit 'Rn' (n > 56) in terms of its explicit factorization. With a bit of effort, I have fashioned, for n < 242, a Mathematica list of 'repfactors'. Also needed is a new divisor function that uses this data as input. But first, a look at the number of divisors of our repunits:
dn = Table[Apply[Times, Last[Transpose[repfactors[[i]]]] + 1], {i, 1, Length[repfactors]}]
{1, 2, 4, 4, 4, 32, 4, 16, 12, 16, 4, 128, 8, 16, 64, 64, 4, 384, 2, 128, 128, 96, 2, 1024, 32, 64, 64, 256, 32, 8192, 8, 2048, 64, 64, 128, 3072, 8, 8, 64, 2048, 16, 24576, 16, 1536, 768, 64, 4, 8192, 16, 1024, 256, 512, 16, 8192, 256, 4096, 64, 256, 4, 1048576, 128, 32, 12288, 32768, 128, 24576, 8, 1024, 64, 4096, 4, 196608, 8, 128, 4096, 64, 256, 49152, 64, 32768, 2560, 128, 8, 3145728, 128, 256, 1024, 24576, 32, 3145728, 4096, 1024, 64, 64, 256, 4194304, 8, 256, 3072, 131072, 8, 65536, 8, 8192, 131072, 64, 256, 524288, 16, 196608, 384, 131072, 8, 4096, 256, 8192, 3072, 64, 256, 67108864, 64, 1024, 1024, 256, 512, 37748736, 8, 262144, 512, 8192, 512, 6291456, 64, 32, 131072, 16384, 32, 65536, 4, 8388608, 128, 32, 512, 6291456, 2048, 128, 16384, 16384, 8, 8388608, 32, 4096, 49152, 786432, 256, 6291456, 16, 1024, 1024, 16777216, 256, 5242880, 8, 1024, 131072, 1024, 16, 805306368, 64, 32768, 1536, 2048, 16, 262144, 8192, 393216, 128, 512, 32, 6442450944, 64, 262144, 4096, 16384, 512, 16384, 128, 1024, 524288, 16384, 8, 1073741824, 256, 128, 65536, 8192, 8, 18874368, 16, 33554432, 512, 512, 2048, 134217728, 768, 2048, 1536, 2097152, 256, 12884901888, 4, 2048, 512, 32768, 512, 134217728, 256, 256, 512, 805306368, 256, 393216, 8, 67108864, 1572864, 128, 4, 8388608, 16, 65536, 2097152, 1048576, 128, 75497472, 512, 512, 2048, 65536, 8, 17179869184, 4}
We require a list of n whose repunits we are not going to find divisors of, because their large number of divisors - especially when those divisors are themselves large - will likely infringe on the available RAM (~800 MB):
not = Union[composites, Rest[Cases[Table[If[dn[[i]] > 500000, i], {i, 1, Length[dn]}], _Integer]]]
{84, 90, 96, 108, 120, 126, 132, 140, 144, 150, 154, 156, 160, 162, 168, 180, 189, 192, 197, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 223, 224, 225, 227, 228, 231, 232, 233, 234, 239, 240, 241}
<< DiscreteMath`Combinatorica`
s = Flatten[Table[If[MemberQ[not, i], {y -> "R" <> ToString[i], x -> "R" <> ToString[i] },
r = (10^i - 1)/9;
fac = First[Transpose[repfactors[[i]]]];
pow = Last[Transpose[repfactors[[i]]]];
expfac = {}; Do[Do[expfac = Append[expfac, fac[[j]]], {k, 1, pow[[j]]}], {j, 1, Length[pow]}];
div = ReplacePart[Union[Subsets[expfac]], {1}, 1];
d = Sort[Table[Apply[Times, div[[i]]], {i, 1, Length[div]}]];
p = d[[Length[d]/2]];
Solve[{x - y == p, x + y == r/p}, {y, x}]], {i, 2, 235}]];
Prepend[Cases[s, Rule[y, n_] -> n], 0]
Prepend[Cases[s, Rule[x, n_] -> n], 1]
< taking about 53 minutes >
< Addendum 1: I'm using a re-write of the 'divisor' sub-routine (which uses NthSubset instead of Subsets) to replace some of the Rn 'not'-entries in the output with numerical solutions >
< Addendum 2: I have replaced multiple-of-six unknowns with their supposed values assuming the RSD Conjecture (bottom of page) >
{0, 5, 17, 45, 115, 67, 2205, 2933, 166667, 44445, 245795, 6667, 132683733, 4444445, 2012917, 23767083, 2680575317, 666667, 555555555555555555, 83053525, 3263104267, 12488376483, 5555555555555555555555, 66666667, 2952525627555, 961829993483, 220041160722275, 1089506761635, 101834457453067, 6666666667, 28668207522205900515, 83883620699165, 672272788489982933, 10590005912352267, 2848948041886685, 666666666667, 1106196897274548575733, 4444444444444444445, 450450450388828828828835, 1203724197897419733, 100881854950161401846794011805, 66666666666667, 1314718140018170669067, 246423363302711227733, 337898557023583076125, 44444444444444444444445, 158181454381729262500703077019345630435, 6666666666666667, 988365072299095481502963759333333, 477902779531238476654045, 5039481940557105293148683, 15650621665940178923552733, 94105864687055755509357085, 666666666666666667, 535722745918803456187166685, 19498301749252790315245525, 41240911944594859937940327005, 44444444444444444444444444445, 2170438142828730106072267144964278633554356195, 66666666666666666667, 888034441640622736661263428267, 4444444444444444444444444444445, 136418013451193275017446889483, 6826182813285609096851384565, 2769198497678913919033399519090100125, 6666666666666666666667, 14106690471588313809423469781024342467317, 539824223121930277649914879063267, 1132553685348206373220474330746429085, 235879202013151810822229424805365, 22997405673822636583914050610823038431395, 666666666666666666666667, 24603670817323152176905995678896975213174517, 4444444444444444444444444444444444445, 2073241598324548875449692665184969483, 24813006329832366695468605286380829475, 68307334287960498806941330841418682339932683, 66666666666666666666666667, 1830287229595458717811233594965335556572917, 5937033217206105531950509799362786645, 895401690644405014347409898250980096267, 44444444444444444444444444444444444444445, 157432798642940052488063725315550699811317, 6666666666666666666666666667, 1979467307081120117534069115806638527997725, 789245446475411551074498278267386808080733, 155085125649901778705912229952003082506506087083, 1879425584011647144464297531599497055125405, 72794086914336698371503825507420232771551733, 666666666666666666666666666667, 6874511508384265388577462673676938710291555, 176704458265519368136726020708508933483843933, 450450450450450450450450450388828828828828828828828828828835, 44444444444444444444444444444444444444444444445, 65154298650340873346329540591047604801081624675, 66666666666666666666666666666667, 54699923422607057314444155590580482823601354457306595, 879446841643653233461867394245239982099424277155, 181273754867288426495716451070467768379596580567083, 12923761854754384978270422641766812109008387925, 292427079401235462523710252193638385726339850955455043824675, 6666666666666666666666666666666667, 76605810443507711995639215833904180719608647147950693857743236728962767429522398486637051733, 93727578877545256238097674566035157194478349663275, 425654589198002981625609189856103268886955930275, 44444444444444444444444444444444444444444444444444445, 52283862269245447750908012140627037285698953879934933, 666666666666666666666666666666666667, 123414871989926953763781647788127791220236789204782232644267, 1054328161086261434307487850222232514614290689802845, 3448277840299747531197183053174890777951717305165153635, 145130540710927212624329964743413232956511072515897845, 26947856156108859532633551713342698649249352586724613277501673440939261852890539507771781091824683, 66666666666666666666666666666666666667, 427577126264525866465951947028510772718986189003796911325, 29390615547943520753636484055003197044339247496594495075, 472905247231807730343754604721875731806765751027586386595, 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 148950396110148083656822362854059153064774376700135514806517, 6666666666666666666666666666666666666667, 298574588104765206180397695748828670079971710996251269115415740841116483894237290387177395132683, 340347737542698808750126789856957924502531146088066620079005, 1033731201794962771746490907344557240631579189042224602675485, 3393996069687311271506211873768517256622201193222721609648085, 21025887902478152279905297391882994842496506923340048736350462584869444445, 666666666666666666666666666666666666666667, 325935924892621910479059842116571491085268469073674750524977937711772185944259816051579876918259927074612474759986517, 42802109541264275468366467814146532917870804196654714436875, 3151742989631288433172516396582742826842852496099091700291843317, 932388644717397070215834253226325471564214604597366922507157155, 24705525703825023764953989680920821208446566398038624840893449483, 66666666666666666666666666666666666666666667, 139424149931021571877453839695292888258196503115612571182981865434782166482737722593539235, 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 25608567137697164944816620694655252410093173969692589236452115805, 2108985350210230023346965868567598021280255475390420199487166719645, 6152194006419373266732993314000402204567643204661502578405379643698911733, 6666666666666666666666666666666666666666666667, 4663640787520217971410015208309036926953090603191922986570486727155162855261575506436807284637980190357247706449804738454517, 47867461025624567174775389129089424587755073033572598326051011485, 220627341405074127646517050904292990095115190807388172259556659049626667, 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 18613141405490558305645962554504360532351983419841480617213360437714749483, 666666666666666666666666666666666666666666666667, 33291657442952347564165766536322357236411833880665310090981417547393067, 1982135788299161345080250330401363832906560921538685880180252155212305675, 189264319496916547191499551255650706248931987790086973293800489228973085, 789306507761241779324973046990112869215406439464594537701666898525033635, 828684633970668259794506496778570034945682496041182767350274442226275878593068827943904104781777185636504469163901606116667843317, 66666666666666666666666666666666666666666666666667, 428099977491746857154375266837897948362968512581169898449600436713267335008238933, 19565867490910443940630513225709900770529036417126468431920739407435802595, 50454478804135263258953426837004519802220666500929661752803439330844045483, 8455365604196990811772132697027622603343551475553193241965540433862724267, 155678025389195426757597491078899228784771006484870841597547376947653779351959794180321466033411015865245, 6666666666666666666666666666666666666666666666666667, 31107921860152610277463695115310703196510228351354946109138466112226588091597395489220726671749854365, 47539297784652278866050719564090120497553123879633434053586842049837442769067, 3298010217320326934546379582715299326503391483480558051661732251943525329984285, 251413717217605478925868021207803924091637292652090371745869924233587818333, 211310339380655296209200239702217455139423751842728647646771907219572510629327005, 666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 1164127397775264382905418494921467658141704216786808701944651296687523691726951601520683, 1815842306244258406412359679579210836458478872599584716899843242779971183153442275, 16701716480963613083692939639685484840049042250028512612937020493767085790412515, 1211581349792925530164322338295889951186432645118485719867617690345282321733973333, 73454494618624414182234320562316452304893482836445837639661931132443157894264469278615596375594500267, 66666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 15599117194938064001476391106458347165927077925894648430601953556779900423072516642730301254790075648683, 1589012644484468430927482326300659652255212441850293285398742366775439085543764125, 2291050182227944436872284524010202132831416403928256953024537358432788804739944430933, 13258209857056251561779006378883974211816462342284655168869045445809561777901548950485, 16099023387860445796710227122473298882336504058099579575445037787251028236084888488506356124900987708813483, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 33353289565715856958609680466353790309832433987206543904244876784821019486013346731165, 2837927418771256461838166825981128821544968669743847280307019424743001079693462337035, 503919659595833430857582854864262751569169385762723042737616912371701781772803209946706525, 5356311253368550397836375565848069632344773088864915097380796853817075846348727524428317, 285772023918770113585553631515508926803559827243139059190818702769801474997118139390055778856855787320303629941276073033161996392131882903645, 666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 219010826731480052496204493968759113388102242517846750276218309000162885096053953618249104931767495861327436866289539200046495021785787235, 9556623731448367350631075080433489620039976233661157429828101370399720335206603315306667, 381600061967914550702519782386865230701058786520024799509206067774797864328992351845037067, 959431243636865627858017980707839381546478921847767941881934737968283549895601456402823075, 38589725985148009551474387092632319833629469797074095565832662087942505756752848027393921067, 66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 1572517265361789572968502119537493079914670279206404496302506735796108519686247320181208364617637012114070274339529315, 39065081432000803299945507707242483466500514951834419476333611842951492726803825009168901667, 481039746279668512876534748108545438040360593786421663983332665552405017067680894908148125, 795496047564138614475698531338643369225527701182716373949438771066779824034510678332736553315, 11078535433612898442796381792664131244784986484123290935645095379983069400200207578250913500898516372647370202416186675515141978963154194336707422561890244835, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 2458137313384070063818578709454501812723299260007609121327651131235628422643757045902167615200675, 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 118700240577411104287775390447879463269094791289433474049109407683426565677371569882400767526667, 635408725519191891470424993207431352683157136814528539658799774539159180020767243013893101248683, R197, 666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 10504205666088145295091304587290020331060905454893981002372437053215910867223670205995563925625503440783932677644292455304397352549182576433063817735890946355938639389954862402845090205, R200, 136746799126387589218933013762501530225730951023590112868947253933206791254226297821304353659523317, 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 1578849803060706381151376283716907421729363469342532645200873468272203404441264312093292966405753414170942338504190933, 66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 18827222767299045265530818702285258347612961111178454958444697830935889919431031760659493538101642718870189241303761633853546968075279991050595, 2519208686794940621232257833764278066445744405568625294560830989563887708102411031366817097548487904733, 762438744412482745118534504213859398740241695791786400032676635076191150035566125915313280976297181795, 2438713533212264212584569962349981660011175208768902156730677705347696429821959785709480702535032565, 3555034098173410418869952201655721322014030829453212899907044576505580498556428501140538368152420566393263737297645728087083, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 802102018590949246421225742504837898217937116411061288361329044730792743036626430328032929579587618696174602706823965, 48826608456742830422936212627171237177801339645516148655089099725148927324452559307874698924512559418325, 1603602382561740023744912938944274735294555448511750886073419425752438607870503463815493716784617065387673110517, 812722303262749662303103678631293589928096935234665045506649909937696575585771986354576523086468923849685, 25220601205439743685294579138472838691385937919498613880402690374425161974665648147216316391455173660753344675, 666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 2385629533997178913531069917771140599563281379941209746562389076731930790440609638579658058623230556251491562479267083, 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 6670042854008139099087103367746689390661704770116020895269104441158366515098390129754629766545807293952701475, R220, 611404556440527478741166892389250473752562802778169852672186913091194113025529192686903750528277384991621553322998191518104918106115558566370856713870856523193333, 66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, R223, R224, 580561781859731562521465581312082551322494606916818016259334493390277737466143198427824566751372947832900267, 44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, R227, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 154622545615250919645123016159709908627355009494499742005007731129886724041454181690859586065322712612307806156196973491575923712448821793009538659907801054819424878517277421787501003266582847733, 1648827364185486479641026299737579380662201619316256268597883621955218887188192043512727033733845466734724362083, 214753554187882148993389957061392398652763167740333645487760659534224613314863962769024816454339231524642462045, 12038263619606600990872538301096032127979419874455370098731200758680018426159343575936779338551800432611765826275, R233, 666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, 209443302536547120560700770631800909977175844026283700650207556367293101108336111817217866432360218873796474646944035, 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445, 1450908983601003001052937614622481329708012894867143013166578780894820294021157750328276431288892592956337736282704675, 169415495080504473863791141611607908583214351171329341704110473452878643600420114621047966508191862616047272835186517, R239, 66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667, R241}
{1, 6, 20, 56, 156, 340, 2444, 4440, 167000, 55556, 267444, 333400, 132687920, 5555556, 10731400, 40938800, 2682647040, 333334000, 555555555555555556, 3334367856, 11034444280, 35595935980, 5555555555555555555556, 333333340000, 3135046840556, 3469326742680, 220293494055356, 33351133955156, 146565234062760, 333333333400000, 28668207541584703844, 3334388635557156, 672355421823315440, 34975124536372520, 105447748273998156, 333333333334000000, 1106197399495654792280, 5555555555555555556, 450450450512162162162156, 33355060531435329680, 100881854950161401901863930556, 333333333333340000000, 1685109758681596777960, 3342429593139178020480, 10546339959718240124644, 55555555555555555555556, 158181454381729262500703077019380751844, 333333333333333400000000, 988365072299095482065059255346000, 3367417731407078434997556, 11683641955328497605578840, 36824625858812296323972020, 141304723486547181169557156, 333333333333333334000000000, 1182417004108911635827423156, 3333390360411185929235832144, 42566699767928193271141081556, 55555555555555555555555555556, 2170438142828730106072267144964281193201390556, 333333333333333333340000000000, 1378301955542066152301664346880, 5555555555555555555555555555556, 10541808240786069291078779234280, 33333334032284903011271373785656, 2769198499685110137253111121690500356, 333333333333333333333400000000000, 14106690471588353191839683879974834778360, 3376761955332401969655655837531620, 1132602737638804737890614128800452156, 33334167907854749275602847773197656, 22997405674064209726307678284399995870444, 333333333333333333333334000000000000, 24603670817323174757095743803605156274272120, 5555555555555555555555555555555555556, 10742878656865413984100778309086372280, 41554739732495163439349987501670105356, 68307334288041830564555116714497058570248360, 333333333333333333333333340000000000000, 1830287533130062743715906969909744904507000, 3333338620583653412243237328710154397056, 10578887242934389547416048318597823859080, 55555555555555555555555555555555555555556, 189462917742917752056677412078954725573160, 333333333333333333333333333400000000000000, 2242632812324410052645262074484850261680356, 3425495509542127954861947664617143284197780, 155085126008127980339245563285336415836257158400, 33386274899080140295149229038448812123618556, 128101874306362576560305822028710194000860120, 333333333333333333333333333334000000000000000, 1054114970019679598525415010418966784132989444, 3338013717269900882821772185393696667446474860, 450450450450450450450450450512162162162162162162162162162156, 55555555555555555555555555555555555555555555556, 123920110328101797010903224835493734656258820356, 333333333333333333333333333333340000000000000000, 54699923432763480225895111251489636284060942123041444, 3447395808199010385032751221928430817841254408556, 181579969475702042829049784403801101406715305486800, 33333335838687546357404856481955701768115478357856, 292427079401235462542708340766457760979181929376829412429644, 333333333333333333333333333333333400000000000000000, 76605810443507711995639215833904180719608647147950693857743236728962767429522398493889185120, 3334650801831183879198555806975267386730864579267856, 10540925542488806538435980152735291452218431622369644, 55555555555555555555555555555555555555555555555555556, 117663560055356725774799032598119099533695768927109840, 333333333333333333333333333333333334000000000000000000, 123414871994428482198626743122250427317045315945304649025280, 3333333500074509851870987286120374244223355409524633556, 11090614553531891735321854209102782933691767590467099844, 33333649274943752506935067529928098545992087952157403944, 26947856156108859532633551713342698649249352586724613277501673440939261852890539507977940554877040, 333333333333333333333333333333333333340000000000000000000, 1137511894450225696915097437964502868654268889234733145356, 3333462902057468245154101896969534429040805779253391979644, 10551528348252232616190601451568722578643533974773412808556, 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 182475564425709143994384569381260811609110735427568417637320, 333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000, 298574588104765206180397695748828670079971710996251269115415740841116485754929987250648245941640, 3350663769100317368229639939820410103187814770336660616791556, 10591492402332901128686842425988776092701637892055067452018844, 33505675943519838611671613894026982970064129900502192695304656, 21025887902478152279905561616422825132703170117759181837922989119758680556, 333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000, 325935924892621910479059842116571491085268469073674750524977937711772185944259816051579876918259927074612476464479680, 3333333333608136420499363771691902861822311248366598700710062856, 11002026857983990716008026993885247643798535718777833959433946440, 33346371012389175053818455089561271099501506635745526505368808556, 108265756873600020323162522007617305690938869039507106204786099720, 333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000, 139424149931021571877453839695292888258196503119597214846439092981726501005280888727693844, 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 10540956641112890805565439857966269122929797980471530046487537425556, 33399983986800240346157942333477602239489030025480561391475902319556, 6152194007322393481854787095669824605752349517393670548923425990200334120, 333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000, 4663640787520217971410015208309036926953090603191922986570486727155162855261575506436807284637980190357247706568929598379880, 3333333333677027407071567531947541021639842528993040221643371216483844, 220879005083285920835597084237626323428448524140718988956107874451069200, 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 18613439877999395395826221713102215504778895453955885396070112874036544720, 333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000, 1054618151544154864567713741668925808681275293642405269510455902525864240, 3878140455729710786945659322786340087800018773964923488806486914448817144, 10542624535368114019676154116438716063187744955876534204590149684658007844, 33342677095192961700085352497505853889979637396854461659153515934562075156, 828684633970668259794506496778570034945682496041182767350274442226275878593068827943904104781777185636504469170605671001925746440, 333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000, 428099977493044581015071858003550951701434484303950696368978025951745127914056640, 3333390756314324301372636774913335995635370585508690309655580474770357521444, 10541046284195061252878658828223954028576527357501052237829156444672222745120, 33333334405731428592331364871874041870677433914483435322220775406741590737280, 155678025389195426757597491078899228784771006484870841633233566708004694019737571958095675192212758551556, 333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000, 31107921860152610277463695115310703196510228369213919718918199969310098897205486455310709789171220156, 3333672313822246230549682323101274528494558339737064845656449291263964518427040, 11044816997336822384605815818101868325139450751799687463411815401966793215970844, 33333333334281466191397460399185032148303648178422476185852661017154117032485100, 236142267796933871201314853380366786803602653256839627714727523553102314704831556, 333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000, 1164127397775741612078631968310100453996612619277807360656622151132506076126325405991760, 3795839089352653031278931789128992234051659062396189434032715488316534080695444644, 10540938765520105306646093727954520497937518136489831895533631784554180900469298844, 33355345006134731306812910696940981679881609255592494230796358174181823513532956800, 73454494618624414182234320562316452380526098436076447540316240631207720801641021747719391910857827680, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000, 15599117194938064001476391106458347165962692476937051915688170761226536041899841092548541389721085203840, 3333333712077489465991511781419449006559865130302733098424496558926092930013391500356, 10787030270125221472207459528121313243942527515039368064127152489456002638815720367040, 35873266365426701433389704306794138612443236421972124187732214425061172750736170831344, 16099023387860445796710227122473298882336849144594686151398441589702195556839022276322773010056799248740320, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000, 1054620098915228147174732355596648034072881770561407337727878448271730377713221986937156, 3333334541407919548755420896125925851442121003589873871780766348793228503641969533168344, 504029894389501217671350907458333764403568779215438017868198306556466021434170756729369644, 33760941653841257785117923239669174396158378901627565680184809181796265454242996528011940, 285772023918770113585553631515508926803559827243139059190818702769801474997118139390055778856855787320323070457108842956254572111373564150444, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000, 219010826731480052496204493968759113388102242517846750276218309000162885096053953618249104931770032519281048898520687954104183943682438844, 3333347032663754257553557521517579163022490243160812352824209054999760236177850458868202400, 10547830569287934259818257127818904067747632918648474272645858612084625116040205494275726440, 33347138099428827802798916325861503684146951735086538627461130955462373384410967886662870356, 112250960186182454888320532897883156338610278017143892549359260009513479219183466802223454640, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000, 1572517265361789572968502119537493079914670279206757786894472184711643692819297168265986688854532199703923571144588156, 3333562237561854786172994717891290236611432379015295883532568399209481178129674378733770715700, 10540925544870827357546916550885251758495293280858362940755934934286108731454091664493508500356, 33342824191612822607354831826007148237527602626308630858001455518928175583429043277075153348156, 11078535433612898442796381792664131244784986484123290935645095379983069400200207578250913500898516372647370202416186675515142480433370076815912842675894402844, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000, 2674612151801110207020502416373580506872254513266706620132571192320607376518280416413644688754644, 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 10541593848096418023216486294809936337456682326976852232802678149455072986476369088228801077241800, 33339388947003468360552849780190048414569108888387798937680948202186067422499465504720081696423840, R197, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000, 10504205666088145295091304587290020331060905454893981002372437053215910867223670205995563925625503440783932677644292455304397352549182576433063817735890946355938639389954915291713912444, R200, 10541812500617833684115677378640846832869073538371036571030947639712607621065417350467497341165770440, 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 1578849803060706381151376283716910940465309590207222672523061206754103359680873398048290610891283042228682000864130960, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000, 18827222767299045265530818702285258347612961111178454958444697830935889919431031790167592657239839200547967019081539411631029664861866386863556, 4178220137658402548648985617431313674187555266751317192864469047320728884391467919644680514930529808180, 10568463651358810170939774354170637164722821467938602248525029601668126638883945547160874678828385127556, 33333333422543188670047038565095763689751745108260038118351697523411089393744145827964339938946841694344, 3555034098173410418869952201655721322015593558642901972203585815626887640945770922835460147072836078379087687798302944048400, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000000, 802102018590949246421226435129395222607557779193383965698040182839275331318366164703603436071979550545699239438690844, 3333690919807128607705220031558000935961331558585530785170086182913565453957109882543847032466816422892144, 1603602382596384244880457746911020656251588781845084219406752759085771941203836796802384838762502319053547234280, 33343239624447589359970505451334405301610911292997216753600315137728178880890804629738982131208766309440656, 25220821482952131695712962377118145181848642446937058515791457214665726999023887989834752534296823886885445356, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000000, 2385629533997178913763945788747095962839309025418869048226036798909155129610381349374007428535903645501742574975806200, 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 12473996263644468187985367107445484955656595336612645250770447716073091009451835287803819000629208723618930356, R220, 611404556440527478741166892389250473752562802778169852672186913091194113025529192686903750528277384991630639868881818663348133076195209233805201280267190870997400, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000000, R223, R224, 33333335507130127079603162420518092828109159773941347498357755550050604927609896325207238644449116442009521058719644, 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, R227, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000000000, 154622545615250919645123016159709908627355009494499742005007731129886724041454181690859586065322712612307806156196973491575923712448821793009538659907801054819428471496253061930641367211836702520, 3333333741128059921881307709450599940636308184952484747644985327162121887202274428169077325367050694604373468716100, 10540925536082218247606069881506628621504335395751000824160262857323877606105203902687805956381093269718212068567444, 33333335507130127079603162420518092828109159773941347498357755550050604927609896325207238644449116442009521058719644, R233, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000000000, 1074698845299708469272068157293786834530433935864281127404238820258282331834630232959928257990827940853097658250039156, 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556, 10640312400949758143644617355133068248021502639728654154670615711029593924449889884872033776214088552312021626265945356, 33333763854702704177592907243463580638751035247409368206211685988246052697874608869705208145882983371369824040090140320, R239, 333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000000000, R241}
Here they are, regrouped:
1
1
0
2
6
5
3
20
17
4
56
45
5
156
115
6
340
67
7
2444
2205
8
4440
2933
9
167000
166667
10
55556
44445
11
267444
245795
12
333400
6667
13
132687920
132683733
14
5555556
4444445
15
10731400
2012917
16
40938800
23767083
17
2682647040
2680575317
18
333334000
666667
19
555555555555555556
555555555555555555
20
3334367856
83053525
21
11034444280
3263104267
22
35595935980
12488376483
23
5555555555555555555556
5555555555555555555555
24
333333340000
66666667
25
3135046840556
2952525627555
26
3469326742680
961829993483
27
220293494055356
220041160722275
28
33351133955156
1089506761635
29
146565234062760
101834457453067
30
333333333400000
6666666667
31
28668207541584703844
28668207522205900515
32
3334388635557156
83883620699165
33
672355421823315440
672272788489982933
34
34975124536372520
10590005912352267
35
105447748273998156
2848948041886685
36
333333333334000000
666666666667
37
1106197399495654792280
1106196897274548575733
38
5555555555555555556
4444444444444444445
39
450450450512162162162156
450450450388828828828835
40
33355060531435329680
1203724197897419733
41
100881854950161401901863930556
100881854950161401846794011805
42
333333333333340000000
66666666666667
43
1685109758681596777960
1314718140018170669067
44
3342429593139178020480
246423363302711227733
45
10546339959718240124644
337898557023583076125
46
55555555555555555555556
44444444444444444444445
47
158181454381729262500703077019380751844
158181454381729262500703077019345630435
48
333333333333333400000000
6666666666666667
49
988365072299095482065059255346000
988365072299095481502963759333333
50
3367417731407078434997556
477902779531238476654045
51
11683641955328497605578840
5039481940557105293148683
52
36824625858812296323972020
15650621665940178923552733
53
141304723486547181169557156
94105864687055755509357085
54
333333333333333334000000000
666666666666666667
55
1182417004108911635827423156
535722745918803456187166685
56
3333390360411185929235832144
19498301749252790315245525
57
42566699767928193271141081556
41240911944594859937940327005
58
55555555555555555555555555556
44444444444444444444444444445
59
2170438142828730106072267144964281193201390556
2170438142828730106072267144964278633554356195
60
333333333333333333340000000000
66666666666666666667
61
1378301955542066152301664346880
888034441640622736661263428267
62
5555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444445
63
10541808240786069291078779234280
136418013451193275017446889483
64
33333334032284903011271373785656
6826182813285609096851384565
65
2769198499685110137253111121690500356
2769198497678913919033399519090100125
66
333333333333333333333400000000000
6666666666666666666667
67
14106690471588353191839683879974834778360
14106690471588313809423469781024342467317
68
3376761955332401969655655837531620
539824223121930277649914879063267
69
1132602737638804737890614128800452156
1132553685348206373220474330746429085
70
33334167907854749275602847773197656
235879202013151810822229424805365
71
22997405674064209726307678284399995870444
22997405673822636583914050610823038431395
72
333333333333333333333334000000000000
666666666666666666666667
73
24603670817323174757095743803605156274272120
24603670817323152176905995678896975213174517
74
5555555555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444444444445
75
10742878656865413984100778309086372280
2073241598324548875449692665184969483
76
41554739732495163439349987501670105356
24813006329832366695468605286380829475
77
68307334288041830564555116714497058570248360
68307334287960498806941330841418682339932683
78
333333333333333333333333340000000000000
66666666666666666666666667
79
1830287533130062743715906969909744904507000
1830287229595458717811233594965335556572917
80
3333338620583653412243237328710154397056
5937033217206105531950509799362786645
81
10578887242934389547416048318597823859080
895401690644405014347409898250980096267
82
55555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444445
83
189462917742917752056677412078954725573160
157432798642940052488063725315550699811317
84
333333333333333333333333333400000000000000
6666666666666666666666666667
85
2242632812324410052645262074484850261680356
1979467307081120117534069115806638527997725
86
3425495509542127954861947664617143284197780
789245446475411551074498278267386808080733
87
155085126008127980339245563285336415836257158400
155085125649901778705912229952003082506506087083
88
33386274899080140295149229038448812123618556
1879425584011647144464297531599497055125405
89
128101874306362576560305822028710194000860120
72794086914336698371503825507420232771551733
90
333333333333333333333333333334000000000000000
666666666666666666666666666667
91
1054114970019679598525415010418966784132989444
6874511508384265388577462673676938710291555
92
3338013717269900882821772185393696667446474860
176704458265519368136726020708508933483843933
93
450450450450450450450450450512162162162162162162162162162156
450450450450450450450450450388828828828828828828828828828835
94
55555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444445
95
123920110328101797010903224835493734656258820356
65154298650340873346329540591047604801081624675
96
333333333333333333333333333333340000000000000000
66666666666666666666666666666667
97
54699923432763480225895111251489636284060942123041444
54699923422607057314444155590580482823601354457306595
98
3447395808199010385032751221928430817841254408556
879446841643653233461867394245239982099424277155
99
181579969475702042829049784403801101406715305486800
181273754867288426495716451070467768379596580567083
100
33333335838687546357404856481955701768115478357856
12923761854754384978270422641766812109008387925
101
292427079401235462542708340766457760979181929376829412429644
292427079401235462523710252193638385726339850955455043824675
102
333333333333333333333333333333333400000000000000000
6666666666666666666666666666666667
103
76605810443507711995639215833904180719608647147950693857743236728962767429522398493889185120
76605810443507711995639215833904180719608647147950693857743236728962767429522398486637051733
104
3334650801831183879198555806975267386730864579267856
93727578877545256238097674566035157194478349663275
105
10540925542488806538435980152735291452218431622369644
425654589198002981625609189856103268886955930275
106
55555555555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444444444445
107
117663560055356725774799032598119099533695768927109840
52283862269245447750908012140627037285698953879934933
108
333333333333333333333333333333333334000000000000000000
666666666666666666666666666666666667
109
123414871994428482198626743122250427317045315945304649025280
123414871989926953763781647788127791220236789204782232644267
110
3333333500074509851870987286120374244223355409524633556
1054328161086261434307487850222232514614290689802845
111
11090614553531891735321854209102782933691767590467099844
3448277840299747531197183053174890777951717305165153635
112
33333649274943752506935067529928098545992087952157403944
145130540710927212624329964743413232956511072515897845
113
26947856156108859532633551713342698649249352586724613277501673440939261852890539507977940554877040
26947856156108859532633551713342698649249352586724613277501673440939261852890539507771781091824683
114
333333333333333333333333333333333333340000000000000000000
66666666666666666666666666666666666667
115
1137511894450225696915097437964502868654268889234733145356
427577126264525866465951947028510772718986189003796911325
116
3333462902057468245154101896969534429040805779253391979644
29390615547943520753636484055003197044339247496594495075
117
10551528348252232616190601451568722578643533974773412808556
472905247231807730343754604721875731806765751027586386595
118
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
119
182475564425709143994384569381260811609110735427568417637320
148950396110148083656822362854059153064774376700135514806517
120
333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666667
121
298574588104765206180397695748828670079971710996251269115415740841116485754929987250648245941640
298574588104765206180397695748828670079971710996251269115415740841116483894237290387177395132683
122
3350663769100317368229639939820410103187814770336660616791556
340347737542698808750126789856957924502531146088066620079005
123
10591492402332901128686842425988776092701637892055067452018844
1033731201794962771746490907344557240631579189042224602675485
124
33505675943519838611671613894026982970064129900502192695304656
3393996069687311271506211873768517256622201193222721609648085
125
21025887902478152279905561616422825132703170117759181837922989119758680556
21025887902478152279905297391882994842496506923340048736350462584869444445
126
333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666667
127
325935924892621910479059842116571491085268469073674750524977937711772185944259816051579876918259927074612476464479680
325935924892621910479059842116571491085268469073674750524977937711772185944259816051579876918259927074612474759986517
128
3333333333608136420499363771691902861822311248366598700710062856
42802109541264275468366467814146532917870804196654714436875
129
11002026857983990716008026993885247643798535718777833959433946440
3151742989631288433172516396582742826842852496099091700291843317
130
33346371012389175053818455089561271099501506635745526505368808556
932388644717397070215834253226325471564214604597366922507157155
131
108265756873600020323162522007617305690938869039507106204786099720
24705525703825023764953989680920821208446566398038624840893449483
132
333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666667
133
139424149931021571877453839695292888258196503119597214846439092981726501005280888727693844
139424149931021571877453839695292888258196503115612571182981865434782166482737722593539235
134
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
135
10540956641112890805565439857966269122929797980471530046487537425556
25608567137697164944816620694655252410093173969692589236452115805
136
33399983986800240346157942333477602239489030025480561391475902319556
2108985350210230023346965868567598021280255475390420199487166719645
137
6152194007322393481854787095669824605752349517393670548923425990200334120
6152194006419373266732993314000402204567643204661502578405379643698911733
138
333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666667
139
4663640787520217971410015208309036926953090603191922986570486727155162855261575506436807284637980190357247706568929598379880
4663640787520217971410015208309036926953090603191922986570486727155162855261575506436807284637980190357247706449804738454517
140
3333333333677027407071567531947541021639842528993040221643371216483844
47867461025624567174775389129089424587755073033572598326051011485
141
220879005083285920835597084237626323428448524140718988956107874451069200
220627341405074127646517050904292990095115190807388172259556659049626667
142
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
143
18613439877999395395826221713102215504778895453955885396070112874036544720
18613141405490558305645962554504360532351983419841480617213360437714749483
144
333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666667
145
1054618151544154864567713741668925808681275293642405269510455902525864240
33291657442952347564165766536322357236411833880665310090981417547393067
146
3878140455729710786945659322786340087800018773964923488806486914448817144
1982135788299161345080250330401363832906560921538685880180252155212305675
147
10542624535368114019676154116438716063187744955876534204590149684658007844
189264319496916547191499551255650706248931987790086973293800489228973085
148
33342677095192961700085352497505853889979637396854461659153515934562075156
789306507761241779324973046990112869215406439464594537701666898525033635
149
828684633970668259794506496778570034945682496041182767350274442226275878593068827943904104781777185636504469170605671001925746440
828684633970668259794506496778570034945682496041182767350274442226275878593068827943904104781777185636504469163901606116667843317
150
333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666667
151
428099977493044581015071858003550951701434484303950696368978025951745127914056640
428099977491746857154375266837897948362968512581169898449600436713267335008238933
152
3333390756314324301372636774913335995635370585508690309655580474770357521444
19565867490910443940630513225709900770529036417126468431920739407435802595
153
10541046284195061252878658828223954028576527357501052237829156444672222745120
50454478804135263258953426837004519802220666500929661752803439330844045483
154
33333334405731428592331364871874041870677433914483435322220775406741590737280
8455365604196990811772132697027622603343551475553193241965540433862724267
155
155678025389195426757597491078899228784771006484870841633233566708004694019737571958095675192212758551556
155678025389195426757597491078899228784771006484870841597547376947653779351959794180321466033411015865245
156
333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666666666667
157
31107921860152610277463695115310703196510228369213919718918199969310098897205486455310709789171220156
31107921860152610277463695115310703196510228351354946109138466112226588091597395489220726671749854365
158
3333672313822246230549682323101274528494558339737064845656449291263964518427040
47539297784652278866050719564090120497553123879633434053586842049837442769067
159
11044816997336822384605815818101868325139450751799687463411815401966793215970844
3298010217320326934546379582715299326503391483480558051661732251943525329984285
160
33333333334281466191397460399185032148303648178422476185852661017154117032485100
251413717217605478925868021207803924091637292652090371745869924233587818333
161
236142267796933871201314853380366786803602653256839627714727523553102314704831556
211310339380655296209200239702217455139423751842728647646771907219572510629327005
162
333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666666666667
163
1164127397775741612078631968310100453996612619277807360656622151132506076126325405991760
1164127397775264382905418494921467658141704216786808701944651296687523691726951601520683
164
3795839089352653031278931789128992234051659062396189434032715488316534080695444644
1815842306244258406412359679579210836458478872599584716899843242779971183153442275
165
10540938765520105306646093727954520497937518136489831895533631784554180900469298844
16701716480963613083692939639685484840049042250028512612937020493767085790412515
166
33355345006134731306812910696940981679881609255592494230796358174181823513532956800
1211581349792925530164322338295889951186432645118485719867617690345282321733973333
167
73454494618624414182234320562316452380526098436076447540316240631207720801641021747719391910857827680
73454494618624414182234320562316452304893482836445837639661931132443157894264469278615596375594500267
168
333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666667
169
15599117194938064001476391106458347165962692476937051915688170761226536041899841092548541389721085203840
15599117194938064001476391106458347165927077925894648430601953556779900423072516642730301254790075648683
170
3333333712077489465991511781419449006559865130302733098424496558926092930013391500356
1589012644484468430927482326300659652255212441850293285398742366775439085543764125
171
10787030270125221472207459528121313243942527515039368064127152489456002638815720367040
2291050182227944436872284524010202132831416403928256953024537358432788804739944430933
172
35873266365426701433389704306794138612443236421972124187732214425061172750736170831344
13258209857056251561779006378883974211816462342284655168869045445809561777901548950485
173
16099023387860445796710227122473298882336849144594686151398441589702195556839022276322773010056799248740320
16099023387860445796710227122473298882336504058099579575445037787251028236084888488506356124900987708813483
174
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
175
1054620098915228147174732355596648034072881770561407337727878448271730377713221986937156
33353289565715856958609680466353790309832433987206543904244876784821019486013346731165
176
3333334541407919548755420896125925851442121003589873871780766348793228503641969533168344
2837927418771256461838166825981128821544968669743847280307019424743001079693462337035
177
504029894389501217671350907458333764403568779215438017868198306556466021434170756729369644
503919659595833430857582854864262751569169385762723042737616912371701781772803209946706525
178
33760941653841257785117923239669174396158378901627565680184809181796265454242996528011940
5356311253368550397836375565848069632344773088864915097380796853817075846348727524428317
179
285772023918770113585553631515508926803559827243139059190818702769801474997118139390055778856855787320323070457108842956254572111373564150444
285772023918770113585553631515508926803559827243139059190818702769801474997118139390055778856855787320303629941276073033161996392131882903645
180
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
181
219010826731480052496204493968759113388102242517846750276218309000162885096053953618249104931770032519281048898520687954104183943682438844
219010826731480052496204493968759113388102242517846750276218309000162885096053953618249104931767495861327436866289539200046495021785787235
182
3333347032663754257553557521517579163022490243160812352824209054999760236177850458868202400
9556623731448367350631075080433489620039976233661157429828101370399720335206603315306667
183
10547830569287934259818257127818904067747632918648474272645858612084625116040205494275726440
381600061967914550702519782386865230701058786520024799509206067774797864328992351845037067
184
33347138099428827802798916325861503684146951735086538627461130955462373384410967886662870356
959431243636865627858017980707839381546478921847767941881934737968283549895601456402823075
185
112250960186182454888320532897883156338610278017143892549359260009513479219183466802223454640
38589725985148009551474387092632319833629469797074095565832662087942505756752848027393921067
186
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
187
1572517265361789572968502119537493079914670279206757786894472184711643692819297168265986688854532199703923571144588156
1572517265361789572968502119537493079914670279206404496302506735796108519686247320181208364617637012114070274339529315
188
3333562237561854786172994717891290236611432379015295883532568399209481178129674378733770715700
39065081432000803299945507707242483466500514951834419476333611842951492726803825009168901667
189
10540925544870827357546916550885251758495293280858362940755934934286108731454091664493508500356
481039746279668512876534748108545438040360593786421663983332665552405017067680894908148125
190
33342824191612822607354831826007148237527602626308630858001455518928175583429043277075153348156
795496047564138614475698531338643369225527701182716373949438771066779824034510678332736553315
191
11078535433612898442796381792664131244784986484123290935645095379983069400200207578250913500898516372647370202416186675515142480433370076815912842675894402844
11078535433612898442796381792664131244784986484123290935645095379983069400200207578250913500898516372647370202416186675515141978963154194336707422561890244835
192
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
193
2674612151801110207020502416373580506872254513266706620132571192320607376518280416413644688754644
2458137313384070063818578709454501812723299260007609121327651131235628422643757045902167615200675
194
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
195
10541593848096418023216486294809936337456682326976852232802678149455072986476369088228801077241800
118700240577411104287775390447879463269094791289433474049109407683426565677371569882400767526667
196
33339388947003468360552849780190048414569108888387798937680948202186067422499465504720081696423840
635408725519191891470424993207431352683157136814528539658799774539159180020767243013893101248683
197
unknown
unknown
198
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
199
10504205666088145295091304587290020331060905454893981002372437053215910867223670205995563925625503440783932677644292455304397352549182576433063817735890946355938639389954915291713912444
10504205666088145295091304587290020331060905454893981002372437053215910867223670205995563925625503440783932677644292455304397352549182576433063817735890946355938639389954862402845090205
200
unknown
unknown
201
10541812500617833684115677378640846832869073538371036571030947639712607621065417350467497341165770440
136746799126387589218933013762501530225730951023590112868947253933206791254226297821304353659523317
202
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
203
1578849803060706381151376283716910940465309590207222672523061206754103359680873398048290610891283042228682000864130960
1578849803060706381151376283716907421729363469342532645200873468272203404441264312093292966405753414170942338504190933
204
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
205
18827222767299045265530818702285258347612961111178454958444697830935889919431031790167592657239839200547967019081539411631029664861866386863556
18827222767299045265530818702285258347612961111178454958444697830935889919431031760659493538101642718870189241303761633853546968075279991050595
206
4178220137658402548648985617431313674187555266751317192864469047320728884391467919644680514930529808180
2519208686794940621232257833764278066445744405568625294560830989563887708102411031366817097548487904733
207
10568463651358810170939774354170637164722821467938602248525029601668126638883945547160874678828385127556
762438744412482745118534504213859398740241695791786400032676635076191150035566125915313280976297181795
208
33333333422543188670047038565095763689751745108260038118351697523411089393744145827964339938946841694344
2438713533212264212584569962349981660011175208768902156730677705347696429821959785709480702535032565
209
3555034098173410418869952201655721322015593558642901972203585815626887640945770922835460147072836078379087687798302944048400
3555034098173410418869952201655721322014030829453212899907044576505580498556428501140538368152420566393263737297645728087083
210
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
211
802102018590949246421226435129395222607557779193383965698040182839275331318366164703603436071979550545699239438690844
802102018590949246421225742504837898217937116411061288361329044730792743036626430328032929579587618696174602706823965
212
3333690919807128607705220031558000935961331558585530785170086182913565453957109882543847032466816422892144
48826608456742830422936212627171237177801339645516148655089099725148927324452559307874698924512559418325
213
1603602382596384244880457746911020656251588781845084219406752759085771941203836796802384838762502319053547234280
1603602382561740023744912938944274735294555448511750886073419425752438607870503463815493716784617065387673110517
214
33343239624447589359970505451334405301610911292997216753600315137728178880890804629738982131208766309440656
812722303262749662303103678631293589928096935234665045506649909937696575585771986354576523086468923849685
215
25220821482952131695712962377118145181848642446937058515791457214665726999023887989834752534296823886885445356
25220601205439743685294579138472838691385937919498613880402690374425161974665648147216316391455173660753344675
216
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
217
2385629533997178913763945788747095962839309025418869048226036798909155129610381349374007428535903645501742574975806200
2385629533997178913531069917771140599563281379941209746562389076731930790440609638579658058623230556251491562479267083
218
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
219
12473996263644468187985367107445484955656595336612645250770447716073091009451835287803819000629208723618930356
6670042854008139099087103367746689390661704770116020895269104441158366515098390129754629766545807293952701475
220
unknown
unknown
221
611404556440527478741166892389250473752562802778169852672186913091194113025529192686903750528277384991630639868881818663348133076195209233805201280267190870997400
611404556440527478741166892389250473752562802778169852672186913091194113025529192686903750528277384991621553322998191518104918106115558566370856713870856523193333
222
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
223
unknown
unknown
224
unknown
unknown
225
10540925549882377082496508664662623236716200890025210465358803002237115415216640934810965834159138369986267287680
580561781859731562521465581312082551322494606916818016259334493390277737466143198427824566751372947832900267
226
55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
227
unknown
unknown
228
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333400000000000000000000000000000000000000
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
229
154622545615250919645123016159709908627355009494499742005007731129886724041454181690859586065322712612307806156196973491575923712448821793009538659907801054819428471496253061930641367211836702520
154622545615250919645123016159709908627355009494499742005007731129886724041454181690859586065322712612307806156196973491575923712448821793009538659907801054819424878517277421787501003266582847733
230
3333333741128059921881307709450599940636308184952484747644985327162121887202274428169077325367050694604373468716100
1648827364185486479641026299737579380662201619316256268597883621955218887188192043512727033733845466734724362083
231
10540925536082218247606069881506628621504335395751000824160262857323877606105203902687805956381093269718212068567444
214753554187882148993389957061392398652763167740333645487760659534224613314863962769024816454339231524642462045
232
33333335507130127079603162420518092828109159773941347498357755550050604927609896325207238644449116442009521058719644
12038263619606600990872538301096032127979419874455370098731200758680018426159343575936779338551800432611765826275
233
unknown
unknown
234
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333334000000000000000000000000000000000000000
666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
235
1074698845299708469272068157293786834530433935864281127404238820258282331834630232959928257990827940853097658250039156
209443302536547120560700770631800909977175844026283700650207556367293101108336111817217866432360218873796474646944035
236
5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444445
237
10640312400949758143644617355133068248021502639728654154670615711029593924449889884872033776214088552312021626265945356
1450908983601003001052937614622481329708012894867143013166578780894820294021157750328276431288892592956337736282704675
238
33333763854702704177592907243463580638751035247409368206211685988246052697874608869705208145882983371369824040090140320
169415495080504473863791141611607908583214351171329341704110473452878643600420114621047966508191862616047272835186517
239
unknown
unknown
240
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
241
unknown
unknown
More Terms?
The Torbjörn Granlund Repunits page provides links to Factors of 10^n-1 and Factors of 10^n+1 for large n, allowing for potential factorizations up to n=2000. So, for instance, I can use the information in these tables to determine that:
FactorInteger[R1610] == {{11, 1}, {41, 1}, {47, 1}, {71, 1}, {139, 1}, {239, 1}, {271, 1}, {691, 1}, {967, 1}, {2531, 1}, {4649, 1}, {4831, 1}, {6763, 1}, {9091, 1}, {31511, 1}, {123551, 1}, {594091, 1}, {909091, 1}, {1302491, 1}, {4147571, 1}, {472341157, 1}, {1569936761, 1}, {19707665921, 1}, {46688538121, 1}, {3383037210281, 1}, {27466038861871, 1}, {62170786600441, 1}, {549797184491917, 1}, {20414137203567631, 1}, {38822860084614271, 1}, {102598800232111471, 1}, {134946626777348891, 1}, {265212793249617641, 1}, {11273170771131750391, 1}, {1203881882727712699967, 1}, {11111111111111111111111, 1}, {1626777403161656797092007877, 1}, {5799951513941382144830754391, 1}, {23391028206417273637358380573, 1}, {122403569491783662720773144041, 1}, {7775058388319250595762800404689, 1}, {3309383964775818489317002654646529291847, 1}, {15362898429170396757717888856328974146292496901433891193564055671816191643, 1}, {15918798843849477568899983937931966555877132981347465830696251648192619376266439940521, 1}, {886581268000082465764809361226730517094000591567827608906755993893621577331471372634652889604145593893933405275437494113075511822582686449311971583221813478548772243805276406309332553448595168149936834651559811381069060334357603274023522384411318982341771420287291992451838336168899225278459145193708172633474625513393622701585596658913873411069111447829584619267525817784461355443935071108442914051181467587139490523224082333384507498733402067428986738764110281, 1}, {215691241251921039443212497542440055379416263033859040077213054424607963000611784473606304585057707986925356728766562473460689347893102851760131312818811581844984307623647136749086947649826534425856009454279901100281776377491410940845198921106105444601610905501542199066135702113778144883012263989210155496971503279680825596497155409132734167746881631599832598837624309195930571530272657405047835255835988567786489930005033099865957806277981364931988354049733627166757805583036086097870615795241, 1}}
Alas, this gives us 70368744177664 divisors! I'm not yet ready to solve that one. What are the largest repunits I can solve? Methinks:
1181
2510098297731416431393849635910230177869263886070464988979493944485970477753891051117451028443301306727958774245625771483035751563506376193582042772073198055660545746814031908452651843112864312019324935618692373792705421768380188499595434373206783855485416227602318485017417934145466931955611490153832918883785246893725905780644046273864886065996201668365569793334843851556095488478340397476824386791915231148059659177097129634913737111786122162331705577652399281991396013029780450110316340524032010852344366414908083349919657622380375211260942202302672817318273644005808972541096587817471865294849587560677402948846607141876025906631061319290358878882446481608949887224887756808952507015595401163464704098143098797671927518361921284921021334635888012245875849899595810753806272418212479092631881894210319951083364612953367684709236496226843311605827284890189596401597188004542757564195129399777404168376083151846203737911238216316753992346042529030009012707372046244674555326588837540433763409546850452054695909659942721534031233473116822829116101726573143763621138582958400210659009130982255851298709004261999674907414453555405230356
2510098297731416431393849635910230177869263886070464988979493944485970477753891051117451028443301306727958774245625771483035751563506376193582042772073198055660545746814031908452651843112864312019324935618692373792705421768380188499595434373206783855485416227602318485017417934145466931955611490153832918883785246893725905780644046273864886065996201668365569793334843851556095488478340397476824386791915231148059659177097129634913737111786122162331705577652399281991396013029780450110316340524032010852344366414908083349919657622380375211260942202302672817318273644005808972541096587817471865294849587560677402948846607141876025906631061319290358878882446481608949887224887756808952507015595401163464704098143098797671927518361921284921021334635888012245875849899595810753806272418212479092631881894210319951083364612953367684709236496226843311605827284890189596401597188004542757564195129399777404168376083151846203737911238216316753992346042529030009012707372046244674555326588837540433763409546850452054695909659942721534031233473116822829116101726573143763621138582958400210659009130980042569229008159919939643458422499623931250525
1266
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333340000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667
Which brings us, finally, to generalizations. You may have noticed that whenever 'n' is a multiple of 6, the solutions to Rn are (as, immediately above) x = 333...340...0 and y = 666...67. [If n = 6*k then there are k 0's, and (2k-1) 3's and 6's.] Can this be shown to be true for all 'n'? If so, then there is no maximum Rn with a known solution.
RSD Conjecture: For positive integer 'k', (10^k - 1)(10^(2*k) - 10^k + 1)/3 is the largest divisor [< (10^(3*k))/3] of (10^(6*k)-1)/9. If true, then:
6*k
(5^k*2^(k + 1) + 10^(3*k))/3
(5^(2*k)*2^(2*k + 1) + 1)/3
21 May 2001 © Rarebit Dreams